Histoire des mathématiques Concept

formule du binôme de Newton

Concept

formule de théorie des nombres

Son histoire

La règle est connue des savants indiens, chinois et arabes plusieurs siècles avant Newton. Au XIIe siècle, al-Samaw'al l'énonce dans Al-Bahir en l'attribuant à al-Karaji. Le texte montre comment passer d'un calcul au suivant, puis continuer de la même façon. Henry Briggs en donne des cas particuliers dans un ouvrage de 1624. En 1654, Pascal la relie à son triangle arithmétique.

Entre 1664 et 1665, Newton élargit cette règle à partir des travaux de John Wallis. Son extension accepte des fractions et des nombres négatifs là où figuraient des entiers positifs. Le calcul devient alors une addition qui ne s'arrête jamais. Il en tire des résultats d'une grande précision, mais attend longtemps avant de publier ces travaux. James Gregory trouve de son côté une version pour les fractions, qu'il note en 1670.

Jean-Henri Fabre raconte sa rencontre avec le binôme dans ses Souvenirs entomologiques, publiés de 1879 à 1907. Il a accepté de donner des leçons d'algèbre sans rien y connaître. Dans l'armoire de son professeur de sciences, il prend en cachette un livre et l'ouvre au chapitre « Binôme de Newton ». Il s'étonne de comprendre ce qu'il appelle une « friande brioche ».

La fiction s'en empare aussi chez Conan Doyle. Le professeur Moriarty, ennemi de Sherlock Holmes, y est présenté comme l'auteur d'un article sur le sujet.

Sources : J. Baudet, Histoire des mathématiques (2014) ; A. Dahan-Dalmedico et J. Peiffer, Une histoire des mathématiques (1986) ; J.-P. Escofier, Petite histoire des mathématiques (2016) ; A. Deledicq et M. Launay, Dictionnaire amoureux des mathématiques (2021) ; Wikipédia, articles « Formule du binôme de Newton » et « Binomial theorem ».

Énoncé

$$(x+y)^n = {n \choose 0}x^n y^0 + {n \choose 1}x^{n-1}y^1 + {n \choose 2}x^{n-2}y^2 + \cdots + {n \choose n-1}x^1 y^{n-1} + {n \choose n}x^0 y^n$$

Pour comprendre

Démonstration par récurrence

Sous forme de somme, la formule s’écrit :

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^k$$

Pour \(n = 0\), les deux membres valent \(1\).

Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors :

$$(x+y)^{n+1}=(x+y)(x+y)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n+1-k}y^k+\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}y^{k+1}$$

L’hypothèse \(xy=yx\) permet ici d’écrire \(y\cdot x^{n-k}y^k=x^{n-k}y^{k+1}\).

Dans la seconde somme, le changement d’indice, où \(k\) devient \(k-1\), donne :

$$\sum_{k=1}^{n+1}\binom{n}{k-1}x^{n+1-k}y^k$$

En regroupant les termes de même degré en \(y\), il reste \(x^{n+1}\), \(y^{n+1}\), et, pour \(1\leq k\leq n\), le coefficient \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k-1}\). Par la relation de Pascal, ce coefficient vaut \(\binom{n+1}{k}\). Comme \(\binom{n+1}{0}=\binom{n+1}{n+1}=1\), on obtient :

$$(x+y)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}x^{n+1-k}y^k$$

La formule vaut donc pour tout entier naturel \(n\). Chaque coefficient d’une ligne est la somme de ses deux voisins de la ligne précédente : c’est le triangle arithmétique.

Conditions d'application

  • L'exposant \(n\) doit être un entier naturel : c'est ce qui rend la somme finie.
  • Pour des objets qui ne commutent pas, comme les matrices, la formule n'est valable que si \(xy = yx\) ; sinon, dès \(n = 2\), \((u+v)^2 = u^2 + uv + vu + v^2\), et non \(u^2 + 2uv + v^2\).
  • Pour un exposant non entier, la formule devient une série infinie, dite binomiale, qui ne converge que pour \(|x| < 1\).

Cas d’usage

  • Chimie organique : en résonance magnétique nucléaire, les hauteurs relatives des raies d'un signal dédoublé par des protons voisins équivalents suivent exactement les coefficients de la formule.
  • Physique statistique : le nombre de façons de répartir des particules entre deux compartiments se lit dans ces coefficients, et leur somme, \(2^n\) pour \(n\) particules, donne le nombre total de configurations.
  • Électronique : étendue aux exposants non entiers, la formule permet de développer une racine carrée et de simplifier l'expression de la propagation et de l'atténuation d'un signal à haute fréquence le long d'une ligne.
  • Statistique : développer certaines sommes avant de les calculer évite d'accumuler des erreurs d'arrondi, plutôt que d'élever directement des écarts à la moyenne à une puissance.

Liens

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Sources