Histoire des mathématiques Concept
triangle arithmétique
Concepttableau des coefficients binomiaux en mathématiques sous forme de triangle, et formule de théorie des nombres associée
- domaine
- pyramide de Pascal
Énoncé
Pour comprendre
Démonstration originale de Pascal (Traité du triangle arithmétique, Conséquence douzième)
Pascal range les nombres du triangle en un tableau : chaque case vaut la somme de sa voisine de gauche et de sa voisine du dessus. Il appelle base une diagonale montante, et il compare deux cases contiguës d’une même base.
L’énoncé de Pascal : « En tout Triangle Arithmétique, deux cellules contiguës estant dans une mesme base, la supérieure est à l’inférieure comme la multitude des cellules depuis la supérieure jusques au haut de la base à la multitude de celles depuis l’inférieure jusques en bas inclusivement. » Son exemple, sur la cinquième base : E est à C comme 2 à 3, « parce qu’il y a deux cellules depuis E jusques en bas, sçavoir E, H ; parce qu’il y a trois cellules depuis C jusques en haut, sçavoir C, R, μ ». Et en effet, 4 est à 6 comme 2 à 3.
Pour le démontrer dans tous les cas à la fois, Pascal pose deux lemmes.
- Le premier lemme est immédiat : sur la seconde base, φ est à σ comme 1 à 1.
- Le second lemme affirme que si la proportion se trouve dans une base, elle se trouve nécessairement dans la base suivante.
- Pascal en conclut que la proportion est dans toutes les bases : dans la seconde par le premier lemme, donc dans la troisième par le second, donc dans la quatrième, « et à l’infiny ».
Pour établir le second lemme, Pascal suppose la proportion vraie sur la base Dλ et la retrouve sur la base suivante, Hμ. De D à B comme 1 à 3, il tire E à B comme 4 à 3, puisque E vaut D plus B. De B à θ comme 2 à 2, il tire C à B comme 4 à 2, puisque C vaut B plus θ. En retournant le premier rapport, B est à E comme 3 à 4 ; en l’enchaînant avec C à B, Pascal obtient C à E comme 3 à 2, par ce qu’il nomme la proportion troublée, c’est-à-dire deux rapports mis bout à bout pour en tirer un troisième. La preuve, précise-t-il, ne repose que sur la base précédente et sur la règle de formation des cellules : elle vaut donc partout.
L’éditeur des Œuvres de Pascal y voit une application systématique du raisonnement par récurrence, « que les anciens ne connaissaient pas, et qui est devenu le fondement de la méthode mathématique moderne ».
Dans l’usage du triangle pour les puissances des binômes, Pascal donne la règle des coefficients, comme dans \((A+1)^4 = A^4 + 4A^3 + 6A^2 + 4A + 1\), mais il ne la démontre pas : « Je ne donne point la démonstration de tout cela, parce que d’autres en ont déjà traitté, comme Herigone, outre que la chose est évidente d’elle-mesme. » Ce que Pascal démontre, c’est la Conséquence douzième.
En langage moderne :
d’où, de proche en proche, \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}\).
Source : Blaise Pascal, Traité du triangle arithmétique (1665), Conséquence douzième et Usage pour les puissances des binômes, d’après le texte des Œuvres, t. III (Wikisource).
Conditions d'application
- Le développement suppose que \(x\) et \(y\) commutent, \(xy = yx\), ce qui va de soi pour des nombres ; pour deux transformations \(u\) et \(v\) qui ne commutent pas, \((u+v)^2 = u^2 + uv + vu + v^2\), et non \(u^2 + 2uv + v^2\).
- L'exposant \(n\) doit être un entier naturel, ce qui rend la somme finie.
Cas d'usage
- Chimie organique : en résonance magnétique nucléaire, un proton couplé à n voisins équivalents donne n+1 raies dont les intensités relatives suivent exactement la ligne n du triangle.
- Développer une puissance d'une somme de deux termes : chaque ligne donne les coefficients du développement, par exemple 1, 4, 6, 4, 1 pour la puissance 4.
- Dénombrement : obtenir tous les nombres de combinaisons de proche en proche, sans factorielle, puisque chaque nombre est la somme des deux nombres placés juste au-dessus.
- Probabilités : les lignes du triangle donnent les poids de la loi binomiale, celle du nombre de succès dans une suite d'épreuves à deux issues ; le traité que Pascal lui consacre en 1654 est contemporain de sa correspondance avec Fermat, point de départ du calcul des probabilités.
- De façon récréative, chercher combien de fois un même entier peut apparaître dans le triangle, question encore ouverte pour les grandes valeurs.
Liens
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Sources
- Wikidata CC0-1.0