physique théorique

Comparons une horloge à lumière vue à bord et depuis le sol. Partons de deux axiomes, des règles admises : la lumière garde la vitesse \(c\) pour tout observateur ; les lois restent les mêmes dans un véhicule allant en ligne droite à vitesse constante. Un éclair monte entre deux miroirs distants de \(h\). À bord, la durée est \(t_0=h/c\). Depuis le sol, pendant la durée \(t\), l'horloge avance de \(vt\), où \(v\) est sa vitesse. La lumière parcourt \(ct\) en diagonale. Le triangle rectangle donne :

À \(v=0{,}6c\), \(\sqrt{1-0{,}36}=0{,}8\), donc \(t=1{,}25t_0\) : une heure à bord dure 1 h 15 min au sol. C'est le triangle \(3\)-\(4\)-\(5\) : déplacement, hauteur, trajet lumineux. À \(0{,}8c\), le facteur vaut environ \(1{,}667\) : 1 h 40 min.

Composons deux vitesses de même sens. Un mouvement a une vitesse \(u\) à bord d'un véhicule allant à \(v\) par rapport au sol. Vu du sol, sa vitesse est :

Avec \(0{,}6c\) et \(0{,}6c\), on obtient \(w=1{,}2c/1{,}36\approx0{,}882c\). Avec \(0{,}9c\) et \(0{,}9c\) : \(0{,}994c\). Avec \(u=c\), on retrouve \(w=c\), quel que soit \(v\). Pour deux voitures à 30 m/s, la correction au dénominateur est :

L'addition \(u+v\), qui donne 60 m/s, convient donc aux petites vitesses.

Comparons les énergies cinétiques, les énergies du mouvement, pour une masse \(m\). La formule nouvelle est \((\gamma-1)mc^2\), avec \(\gamma=1/\sqrt{1-v^2/c^2}\). Pour \(x=v^2/c^2\) petit, réécrivons-la avec des puissances successives de \(x\) :

Le terme \(x/2\), multiplié par \(mc^2\), donne \((1/2)mv^2\). Comparons \(\gamma-1\) et \(v^2/(2c^2)\), les énergies divisées par \(mc^2\), avec des valeurs arrondies :

• À \(0{,}1c\), \(\gamma=1{,}005038\) : \(0{,}005038\) contre \(0{,}005\), écart 0,8 %.
• À \(0{,}5c\), \(\gamma=1{,}1547\) : \(0{,}1547\) contre \(0{,}125\), écart 24 %.
• À \(0{,}9c\), \(\gamma=2{,}294\) : \(1{,}294\) contre \(0{,}405\), soit 3,2 fois plus.