Histoire des mathématiques Discipline

théorie des jeux

Discipline

ensemble d'outils pour analyser des interactions entre individus

Pour comprendre

La théorie des jeux est un ensemble d'outils mathématiques conçus pour analyser les interactions entre individus, c'est-à-dire les situations où les décisions de chacun influencent les résultats obtenus par tous.

Ce qu'elle étudie

Elle modélise des situations d'interaction dans lesquelles plusieurs acteurs prennent des décisions dont les conséquences dépendent aussi des choix des autres, afin de comprendre comment ces choix s'articulent entre eux.

À quoi elle sert

Elle fournit un cadre pour raisonner sur des situations où les intérêts des uns et des autres se croisent.

  • analyser des situations de coopération ou de conflit entre acteurs
  • étudier comment des enchères peuvent être organisées
  • éclairer des choix pris dans des interactions à plusieurs

Où elle se place

Elle se prolonge notamment par la théorie algorithmique des jeux et par la théorie des enchères, deux branches qui en développent des aspects particuliers.

flowchart TD
  D([théorie des jeux])
  D --> E0[theorie algorithmique des jeux]
  D --> E1[théorie des enchères]

Cas d’usage

Dans le dilemme du prisonnier, comparons les choix de deux complices interrogés séparément. Chacun peut se taire ou dénoncer l'autre. Les peines dépendent des deux décisions :

  • Les deux se taisent : un an de prison chacun.
  • L'un dénonce et l'autre se tait : aucune année de prison pour celui qui dénonce, dix ans pour l'autre.
  • Les deux dénoncent : cinq ans chacun.

Pour choisir, chacun examine ce qui arrive selon la décision de l'autre. Si l'autre se tait, dénoncer donne \(0\) année au lieu de \(1\). Si l'autre dénonce, dénoncer donne \(5\) années au lieu de \(10\).

Dénoncer réduit donc la peine dans les deux cas. Les deux dénoncent et prennent cinq ans chacun, alors qu'en se taisant tous deux ils auraient pris un an chacun. Si l'un change seul de décision, sa peine passe de \(5\) à \(10\) ans. C'est le seul équilibre : aucun ne gagne à changer seul de choix.

À pierre-feuille-ciseaux, cherchons une façon de jouer dont l'adversaire ne puisse pas profiter. Chaque coup est battu par un autre : aucun ne garantit de gagner.

On choisit chaque coup au hasard, avec la même probabilité :

$$\Pr(\text{pierre})=\Pr(\text{feuille})$$
$${}=\Pr(\text{ciseaux})=\frac{1}{3}$$

Face à un coup adverse, on a autant de chances de gagner que de perdre ; on peut aussi faire égalité. Les gains et les pertes se compensent : le gain moyen vaut \(0\), quel que soit le coup adverse. L'adversaire ne peut pas exploiter une préférence pour un coup, puisque tous ont la même probabilité.

Liens

a compté parmi ses contributeurs
comprend
a pour branche

Sources