Histoire des mathématiques Méthode

récurrence

Méthode

forme de preuve mathématique

Pour comprendre

rédaction

Deux conditions à vérifier

La récurrence démontre qu'une propriété est vraie pour tous les entiers à partir d'un certain rang. Il faut d'abord vérifier le cas de départ : c'est l'initialisation. Il faut ensuite montrer que, si la propriété est vraie pour un entier, alors elle est vraie pour l'entier suivant : c'est l'hérédité.

La chaîne des dominos

L'image des dominos résume le raisonnement : le premier tombe, puis chaque domino qui tombe entraîne le suivant. Pour établir une formule de somme, on vérifie par exemple que la relation suivante est vraie au départ et se transmet de \(n\) à \(n+1\). La preuve ne contrôle donc pas séparément une infinité de cas :

$$1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$$

Repères historiques

  • premier usage explicite chez Pascal en 1654 (Traité du triangle arithmétique)
  • anticipations chez Gersonide en 1321
  • érigée en axiome des entiers par Peano en 1889

La figure place les sommes \(1 + 2 + \dots + n\) sous forme de points sur la courbe \(n(n+1)/2\) garantie par la récurrence.

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Dates

premiere trace
Traité du triangle arithmétique, Pascal
formalisation
axiomes de Peano

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Sources