Histoire des mathématiques Discipline

mécanique céleste

Discipline
domaine
astronomie

Pour comprendre

Mouvement des astres

La mécanique céleste décrit le mouvement des astres à l'aide des lois de la mécanique et de la gravitation. Elle étudie les orbites planétaires, calcule des éphémérides, des trajectoires de sondes et des retours de comètes. Les orbites planétaires sont des ellipses dont le Soleil occupe un foyer : cette relation correspond à la première loi de Kepler.

Gravitation et calcul

Newton donne la cause du mouvement orbital par l'attraction gravitationnelle entre deux masses. Cette attraction est exprimée par la relation :

$$F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$$

La mécanique céleste relie ainsi la forme des orbites aux lois de la mécanique et de la gravitation. Elle permet de décrire les positions et les trajectoires des astres, des sondes et des comètes. Elle constitue donc une discipline de calcul appliquée aux mouvements célestes.

Repères historiques

  • En 1609, Kepler énonce ses deux premières lois dans Astronomia nova.
  • En 1687, Newton explique ces lois par la gravitation universelle dans les Principia.
  • En 1799, Laplace publie le Traité de mécanique céleste, qui donne son nom à la discipline.

La figure représente une orbite elliptique, avec le Soleil au foyer, le périhélie et l'aphélie.

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Cas d’usage

Calculons l'orbite circulaire d'une station à \(400\) km d'altitude. Le rayon terrestre vaut \(6\,371\) km ; le facteur d'attraction terrestre est \(GM=398\,600\ \mathrm{km^3/s^2}\). L'attraction fournit l'accélération qui courbe le mouvement :

$$GM/r^2=v^2/r$$

Le rayon \(r\) et la vitesse \(v\) donnent :

$$r=6\,371+400=6\,771\ \mathrm{km}$$
$$v=\sqrt{GM/r}$$
$${}=\sqrt{398\,600/6\,771}$$

Soit \(7{,}67\) km/s, environ \(27\,600\) km/h. La période \(T\) est la durée d'un tour. Avec la vitesse non arrondie :

$$T=2\pi r/v\approx5\,545\ \mathrm{s}$$

Cela fait \(92{,}4\) min. Un satellite géostationnaire reste au-dessus du même point de l'équateur en suivant la rotation terrestre. Imposons \(T=86\,164\) s, durée d'un tour de la Terre sur elle-même :

$$r=(GMT^2/4\pi^2)^{1/3}$$
$${}\approx42\,164\ \mathrm{km}$$

L'altitude est d'environ \(35\,800\) km, la vitesse de \(3{,}07\) km/s.

Cherchons la vitesse pour ne jamais retomber. Au sol, \(R=6\,371\) km, la vitesse circulaire vaut \(\sqrt{GM/R}\approx7{,}91\) km/s. Par unité de masse, l'énergie du mouvement \(\frac12v^2\) doit compenser l'énergie de liaison \(GM/R\), qui retient l'objet :

$$v=\sqrt{2GM/R}\approx11{,}19\ \mathrm{km/s}$$

C'est la vitesse circulaire multipliée par \(\sqrt2\approx1{,}414\).

Suivons une comète. Son périhélie, point le plus proche du Soleil, est à \(0{,}6\) ua ; son aphélie, le plus éloigné, à \(35{,}4\) ua. L'unité astronomique est la distance Terre-Soleil. Le demi-grand axe \(a\) est la moitié du plus grand diamètre de l'ellipse :

$$a=(0{,}6+35{,}4)/2=18\ \mathrm{ua}$$

L'excentricité \(e\) mesure son allongement :

$$e=\frac{35{,}4-0{,}6}{35{,}4+0{,}6}$$
$${}=34{,}8/36\approx0{,}967$$

La troisième loi donne, avec \(a\) en ua et \(T\) en années :

$$T^2=a^3=18^3=5\,832$$

D'où \(T\approx76{,}4\) ans. La loi des aires donne des surfaces égales balayées par le segment Soleil-comète en des temps égaux. Aux extrémités, la vitesse est perpendiculaire au rayon : \(rv\) reste le même. Le rapport \(35{,}4/0{,}6=59\) rend la comète \(59\) fois plus rapide au périhélie. Elle passe l'essentiel de ses \(76\) ans loin du Soleil, visible quelques mois.

Dates

premiere trace
Astronomia nova, deux premières lois de Kepler
demonstration
gravitation universelle, Principia de Newton
publication
Traité de mécanique céleste, Laplace

Liens

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Sources