Grèce antique

Ce qui change

C'est avec les mathématiques grecques qu'apparaissent les fondements du raisonnement mathématique et de la géométrie.

Sur les mathématiques appliquées de la haute époque classique, les Mésopotamiens et les Égyptiens étaient pourtant bien en avance sur les Grecs. La rupture n'est donc pas une rupture d'efficacité, mais une rupture d'exigence.

Une démonstration établit une proposition à partir d'axiomes et de règles de déduction. Elle ne se contente pas de vérifier un résultat sur des cas particuliers : elle le fait découler de principes posés d'avance, une fois pour toutes.

Les Éléments d'Euclide, vers 300 av. J.-C.

Ce texte, rédigé vers 300 av. J.-C., organise en treize livres l'essentiel du savoir géométrique et arithmétique de l'époque.

Le livre I s'ouvre sur 23 définitions, 5 postulats et 9 notions communes, dont au moins quatre sont aujourd'hui contestées par les spécialistes. Tout le reste de l'ouvrage en découle, livre après livre.

• Livres I à IV : géométrie plane, avec le théorème de Pythagore, les cas d'égalité des triangles et le parallélisme
• Livres V et VI : proportions et similitude
• Livres VII à IX : arithmétique, divisibilité, nombres premiers, nombres parfaits ; on y démontre qu'il existe une infinité de nombres premiers
• Livre X : les grandeurs irrationnelles, traitées géométriquement
• Livres XI à XIII : géométrie dans l'espace, jusqu'aux cinq solides de Platon

Ce qui reste débattu, c'est la qualité des manuscrits qui nous sont parvenus, et la question de savoir si ce sont les versions grecques ou les versions latines venues de l'arabe qui rendent le mieux le texte d'origine.

Ce que la démonstration fait surgir

Un nombre irrationnel n'est le rapport d'aucun couple d'entiers. La tradition attribue la découverte de cette incommensurabilité à Hippase de Métaponte, un pythagoricien, mais cette attribution relève de la légende, non d'un fait établi.

Le raisonnement qui la prouve peut se suivre pas à pas. Supposons que la racine de deux s'écrive comme un rapport de deux entiers, réduit au plus simple qui soit. En élevant ce rapport au carré, on obtient que le carré du numérateur vaut deux fois le carré du dénominateur :

Le numérateur est donc pair. Écrivons-le comme le double d'un entier, et reportons cette écriture dans l'équation : le carré du dénominateur vaut à son tour deux fois le carré de ce nouvel entier, donc le dénominateur est pair lui aussi. Numérateur et dénominateur sont ainsi tous deux pairs, alors que le rapport de départ était supposé réduit au plus simple, ce qui est impossible. La racine de deux n'est donc le rapport d'aucun couple d'entiers.

Aucun calcul, si précis soit-il, ne pouvait mener à cette conclusion : un scribe babylonien capable d'approcher \( \sqrt{2} \) au millionième près n'avait rien à prouver à personne, seulement un chiffre à affiner. C'est la démonstration, et elle seule, qui permet de savoir qu'aucune précision, aussi grande soit-elle, ne rejoindra jamais l'exactitude. La méthode d'exhaustion, attribuée à Eudoxe de Cnide, procède du même geste : encadrer une aire courbe par des figures rectilignes de plus en plus proches, non pour l'approcher, mais pour cerner ce qu'elle est exactement. Les autres traditions n'étaient pas moins savantes : elles ne se posaient simplement pas cette question.

Trois foyers