Histoire des mathématiques Discipline

optique

Discipline
domaine
physique

Pour comprendre

Étudier la lumière

L'optique étudie la lumière et sa propagation. Elle décrit les rayons, la réflexion, la réfraction et les couleurs. Elle s'intéresse aussi aux instruments qui utilisent ces phénomènes, notamment les lunettes et les microscopes. Par son objet, elle constitue une discipline charnière entre les mathématiques, qui fournissent la géométrie des rayons, et la physique, qui étudie la nature de la lumière.

Réflexion et réfraction

Lorsqu'un rayon lumineux rencontre une surface, il peut être réfléchi ou traverser un autre milieu. Dans ce dernier cas, sa direction change : c'est la réfraction. La loi de la réfraction relie les angles du rayon dans les deux milieux et leurs indices de réfraction :

$$n_1 \sin \theta_1 = n_2 \sin \theta_2$$

Cette relation permet de décrire le changement de direction du rayon lorsqu'il passe d'un milieu à un autre.

Repères historiques

  • Vers -300, l'Optique d'Euclide présente une géométrie des rayons visuels.
  • Vers 1021, le Kitab al-Manazir d'Ibn al-Haytham, dit Alhazen, fonde une approche expérimentale.
  • En 1621, Snell établit la loi de la réfraction, publiée par Descartes en 1637.
  • En 1704, Newton publie Opticks.

La figure montre un rayon passant de l'air au verre, d'indice \(n = 1,5\), incident à 40°, réfléchi et réfracté à 25°.

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Cas d’usage

Cherchons quand un rayon reste dans le verre. L'indice est le rapport des vitesses de la lumière dans le vide et dans le milieu : \(n=1{,}5\) pour le verre, \(n=1\) pour l'air. Les angles d'arrivée \(i\) et de sortie \(r\) se mesurent depuis la perpendiculaire à la surface :

$$\sin r=1{,}5\sin i$$

Le sinus, rapport de côtés dans un triangle rectangle, ne dépasse pas \(1\). À l'angle limite :

$$\sin i=1/1{,}5\approx0{,}667$$

Soit \(i\approx41{,}8^\circ\). À \(30^\circ\), \(1{,}5\times0{,}5=0{,}75\) : le rayon sort à \(48{,}6^\circ\). À \(50^\circ\) :

$$1{,}5\sin50^\circ\approx1{,}149$$

Ce résultat dépasse \(1\) : aucun rayon ne sort. Cette réflexion totale garde la lumière dans une fibre optique. Pour l'eau, \(n=1{,}333\), la limite donne \(\sin i\approx0{,}750\), soit \(48{,}6^\circ\). Sous l'eau d'une piscine, au-delà de cet angle, la surface renvoie le fond comme un miroir.

Plaçons un objet devant une lentille convergente, qui rassemble la lumière. Sa focale \(f=10\) cm est la distance au foyer, où se forme l'image d'un objet très lointain. Les distances de l'objet \(d_o\) et de l'image \(d_i\) vérifient :

$$1/f=1/d_o+1/d_i$$

Objet à \(30\) cm :

$$1/d_i=1/10-1/30=1/15$$

L'image est réelle, projetable sur un écran, à \(15\) cm derrière la lentille. Son grandissement, rapport signé des tailles, vaut \(-15/30=-1/2\) : renversée et deux fois plus petite.

Objet à \(5\) cm :

$$1/d_i=1/10-1/5=-1/10$$

Alors \(d_i=-10\) cm : l'image est virtuelle, visible mais non projetable, du côté de l'objet. Le grandissement \(-(-10)/5=2\) la donne droite et agrandie : c'est la loupe. Très loin, \(1/d_o\) tend vers \(0\) : l'image est au foyer, à \(10\) cm.

Assemblons une lunette. L'objectif, lentille côté astre, de focale \(100\) cm, forme l'image au foyer. L'oculaire, côté œil, a une focale de \(2{,}5\) cm. Son foyer coïncide avec cette image, renvoyée à l'infini. Le tube mesure \(100+2{,}5=102{,}5\) cm.

Le grossissement multiplie l'angle apparent :

$$\frac{f_{\mathrm{objectif}}}{f_{\mathrm{oculaire}}}=100/2{,}5=40$$

Un détail vu sous \(0{,}5^\circ\) apparaît sous \(20^\circ\). Un oculaire de \(5\) cm ne grossirait que \(20\) fois.

Dates

premiere trace
Optique d'Euclide, géométrie des rayons approximative
decouverte
Kitab al-Manazir, Ibn al-Haytham (Alhazen) approximative
demonstration
loi de la réfraction, Snell
publication
Opticks, Newton

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Sources