Histoire des mathématiques Discipline

mécanique

Discipline
domaine
physique

Pour comprendre

Équilibre et mouvement

La mécanique étudie l’équilibre et le mouvement des corps sous l’action des forces. Sa partie statique s’intéresse aux situations d’équilibre ; sa partie dynamique étudie les mouvements. Le levier d’Archimède constitue un exemple majeur de réflexion sur l’équilibre. La mécanique cherche ainsi à relier l’action des forces aux conditions dans lesquelles un corps reste en place ou modifie son mouvement. Elle conduit donc à distinguer les conditions d’équilibre, les forces en jeu et les changements observés dans le mouvement des corps dans l’espace.

Décrire les trajectoires

Les trajectoires de projectiles étudiées par Galilée étendent cette recherche aux corps en mouvement. La mécanique ne porte plus seulement sur des positions d’équilibre, mais aussi sur des parcours et des variations. Avec Lagrange, elle reçoit une reformulation mathématique qui organise son étude par les équations. Du levier aux projectiles, puis à cette écriture analytique, la discipline rassemble des problèmes différents dans un même cadre.

Repères historiques

  • statique d'Archimède (loi du levier) vers -250
  • balistique des Discorsi de Galilée en 1638
  • Mécanique analytique de Lagrange en 1788

La figure compare trois tirs de projectile à 30°, 45° et 60° à même vitesse.

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Cas d’usage

Soulevons un rocher de \(200\) kg avec une barre de \(2\) m. Le pivot, point d'appui, est à \(20\) cm du rocher. Les bras, distances au pivot, mesurent \(0{,}2\) m côté rocher et \(2-0{,}2=1{,}8\) m côté main. À l'équilibre, les moments, produits du poids par le bras, se compensent. Le facteur de pesanteur est commun aux poids : comparons les produits des masses par les bras.

$$200\times0{,}2=40$$
$$40/1{,}8\approx22{,}2$$

L'effort vaut le poids d'environ \(22\) kg : il est divisé par \(9\). La main descend neuf fois plus que le rocher ne monte.

Calculons la force nécessaire à une voiture de \(1\,000\) kg passant de \(0\) à \(20\) m/s, soit \(72\) km/h, en \(8\) s. L'accélération \(a\), gain de vitesse par seconde, reste constante :

$$a=20/8=2{,}5\ \mathrm{m/s^2}$$
$$F=ma=1\,000\times2{,}5$$
$${}=2\,500\ \mathrm{N}$$

La distance \(d\) parcourue pendant ce temps \(t\) vaut :

$$d=\frac12at^2$$
$${}=0{,}5\times2{,}5\times64=80\ \mathrm{m}$$

L'énergie cinétique est l'énergie du mouvement :

$$\frac12mv^2=0{,}5\times1\,000\times400$$
$${}=200\,000\ \mathrm{J}$$

Le travail, produit de la force par le déplacement dans sa direction, donne le même gain :

$$Fd=2\,500\times80=200\,000\ \mathrm{J}$$

Réglons la longueur \(L\) d'un pendule. Pour de petits balancements, sa période \(T\), durée d'un aller-retour, dépend de la pesanteur \(g=9{,}8\ \mathrm{m/s^2}\) :

$$T=2\pi\sqrt{L/g}$$

Avec \(L=1\) m :

$$T=2\pi\sqrt{1/9{,}8}$$
$${}\approx2{,}007\ \mathrm{s}$$

Un aller en \(1\) s exige \(T=2\) s :

$$L=g/\pi^2\approx0{,}993\ \mathrm{m}$$

À \(25\) cm, \(T\approx1{,}004\) s. Diviser la longueur par \(4\) divise la période par \(2\), quelle que soit la masse.

Dates

premiere trace
statique d'Archimède, loi du levier approximative
decouverte
balistique des Discorsi, Galilée
formalisation
Mécanique analytique, Lagrange

Liens

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Sources